在数学的学习与研究中，三角函数占据着举足轻重的地位。它们不仅在几何学中有广泛应用，而且在物理学、工程学以及计算机科学等领域也扮演着不可或缺的角色。为了帮助大家更好地掌握三角函数的知识体系，本文将系统地整理和归纳三角函数的基本公式及其推导过程，力求全面而清晰地呈现这一领域的核心内容。
一、基本定义与关系式
首先，我们从三角函数的基础开始。设任意角θ位于直角坐标系的第一象限内，其终边上一点P(x, y)到原点的距离为r，则有以下定义：
- 正弦函数：sinθ = y / r
- 余弦函数：cosθ = x / r
- 正切函数：tanθ = y / x （当x ≠ 0时）
- 余切函数：cotθ = x / y （当y ≠ 0时）
- 正割函数：secθ = r / x （当x ≠ 0时）
- 余割函数：cscθ = r / y （当y ≠ 0时）
这些定义构成了所有三角公式的基础。接下来，我们将通过这些定义引出重要的恒等式。
二、三角函数的基本恒等式
1. 勾股定理恒等式
由勾股定理可知，对于任意角θ，总有：
$$
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
$$
2. 商数关系恒等式
利用正切和余切的定义可得：
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
$$
3. 倒数关系恒等式
根据正割和余割的定义：
$$
\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
$$
三、两角和差公式
两角和差公式是解决复杂三角问题的重要工具，具体如下：
1. 两角和公式
$$
\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta
$$
$$
\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta
$$
$$
\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}
$$
2. 两角差公式
$$
\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta
$$
$$
\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta
$$
$$
\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}
$$
四、倍角公式
倍角公式用于计算某一角度的两倍或更高次幂的三角值：
1. 倍角公式
$$
\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta
$$
$$
\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta
$$
$$
\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
$$
五、半角公式
半角公式适用于求解某个角度的一半的三角值：
1. 半角公式
$$
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}
$$
$$
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}
$$
$$
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}
$$
六、积化和差公式
积化和差公式将两个三角函数的乘积转化为和的形式，便于简化计算：
$$
\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]
$$
$$
\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]
$$
$$
\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]
$$
七、和差化积公式
与积化和差相反，和差化积公式则将两个三角函数的和差形式转化为乘积形式：
$$
\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
$$
\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
$$
\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
$$
\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)
$$
总结
以上便是三角函数的主要公式汇总。无论是学习还是考试复习，掌握这些公式都能极大提升解决问题的效率。希望本文能够成为大家学习三角函数的好帮手！如果还有其他疑问，欢迎随时交流探讨。
