在概率论与数理统计中，泊松分布是一种广泛应用于实际问题的概率分布模型。它主要用于描述单位时间内随机事件发生的次数，例如电话交换机接收到的呼叫次数、某段时间内到达机场的航班数量等。

泊松分布的基本定义

假设一个随机变量 \( X \) 服从泊松分布，则其概率质量函数为：

\[

P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots

\]

其中，\( \lambda > 0 \) 是泊松分布的参数，表示单位时间内的平均发生次数，\( e \approx 2.718 \) 是自然对数的底数。

泊松分布的期望值

泊松分布的一个重要特性是它的期望值等于其参数 \( \lambda \)。也就是说：

\[

E(X) = \lambda

\]

这表明，泊松分布的均值反映了单位时间内事件发生的平均次数。

泊松分布的方差

除了期望值外，泊松分布的另一个重要特征是它的方差也等于参数 \( \lambda \)。即：

\[

Var(X) = \lambda

\]

这意味着泊松分布的离散程度由其均值决定，当 \( \lambda \) 增大时，数据的波动也会随之增加。

理论推导

为了更好地理解上述性质，我们可以从泊松分布的概率质量函数出发进行推导。首先，根据期望值的定义：

\[

E(X) = \sum_{k=0}^\infty k \cdot P(X = k)

\]

将 \( P(X = k) \) 的表达式代入后经过一系列数学变换（包括级数求和和泰勒展开），最终可以得到 \( E(X) = \lambda \)。

类似地，对于方差 \( Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \)，通过计算 \( E(X^2) \) 并结合已知的 \( E(X) \)，同样能够证明 \( Var(X) = \lambda \)。

实际应用

泊松分布的应用非常广泛。例如，在质量管理中，可以用泊松分布来分析生产线上出现缺陷产品的次数；在保险行业，它可以用来估计理赔次数；在网络通信领域，泊松分布则可用于建模数据包到达的时间间隔。

总之，泊松分布以其简洁的形式和强大的适用性成为统计学中的经典工具之一。通过掌握其期望值和方差这两个核心属性，我们不仅能够更深入地理解这一分布的本质，还能将其灵活运用于各种实际场景之中。