在准备专升本考试的过程中，高等数学无疑是一个重要的科目。它不仅考察学生的逻辑思维能力，还考验对公式的熟练运用程度。为了帮助大家更好地复习和掌握高等数学中的各种公式，下面将为大家整理一份较为全面的高数公式大全。
一、极限与连续
1. 极限的基本性质：如果 \(\lim_{x \to a} f(x) = A\) 且 \(\lim_{x \to a} g(x) = B\)，那么有：
- \(\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)] = A \pm B\)
- \(\lim_{x \to a}[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B\)
- \(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\)，其中 \(B \neq 0\)
2. 夹逼定理：若存在三个函数 \(f(x)\), \(g(x)\), \(h(x)\)，当 \(x \to a\) 时满足 \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\)，并且 \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L\)，则 \(\lim_{x \to a} g(x) = L\)
3. 连续性定义：函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处连续，则需满足以下条件：
- \(f(x_0)\) 存在
- \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在
- \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)
二、导数与微分
1. 导数定义：设函数 \(y=f(x)\) 在某区间内有定义，若极限 \(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) 存在，则称此极限值为 \(f(x)\) 在 \(x\) 处的导数，记作 \(f'(x)\) 或 \(\frac{dy}{dx}\)
2. 常见函数导数表：
- \(C'=0\)（\(C\) 为常数）
- \((x^n)'=nx^{n-1}\)
- \((e^x)'=e^x\)
- \((\ln|x|)'=\frac{1}{x}\)
- \((\sin x)'=\cos x\)
- \((\cos x)'=-\sin x\)
3. 微分形式不变性：无论自变量是什么，只要函数可微，则其微分形式保持不变。即对于复合函数 \(y=f(u), u=g(x)\)，有 \(dy=f'(u)du, du=g'(x)dx\)，从而得到 \(dy=f'[g(x)]g'(x)dx\)
三、积分学
1. 不定积分基本公式：
- \(\int k dx=kx+C\)
- \(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\neq-1)\)
- \(\int e^x dx=e^x+C\)
- \(\int \frac{1}{x} dx=\ln|x|+C\)
2. 定积分几何意义：定积分可以看作是曲边梯形面积的代数和，即若 \(f(x)\geq0\) 在区间 \([a,b]\) 上，则 \(\int_a^b f(x)dx\) 表示由曲线 \(y=f(x)\), 直线 \(x=a, x=b\) 及 \(y=0\) 围成图形的面积。
以上只是高等数学中的一部分基础公式，更多复杂的内容还需要同学们通过系统学习来逐步掌握。希望这份小结能够帮助到正在备考专升本的同学们！
