排列组合是数学中的一个基础且重要的分支，它在概率论、统计学以及计算机科学等领域都有着广泛的应用。通过学习排列组合，我们可以更好地理解如何从有限的元素中选取或安排对象的方法。本文将通过21个经典例题及其详细解答，帮助大家深入掌握排列组合的相关知识。

例题1：基本排列公式

题目：有5本书需要放在书架上，问有多少种不同的排列方式？

解答：根据排列公式 \(P_n = n!\)，这里 \(n=5\)，所以共有 \(5! = 120\) 种排列方式。

例题2：重复元素的排列

题目：由字母A、B、C组成的所有可能的三字母单词中，包含至少一个A的单词有多少种？

解答：首先计算所有可能的三字母组合数为 \(3^3 = 27\)。然后计算不含A的情况（即仅由B和C组成），共 \(2^3 = 8\) 种。因此，至少包含一个A的单词数为 \(27 - 8 = 19\) 种。

例题3：组合问题

题目：从6个人中选出4人参加比赛，问有多少种选法？

解答：使用组合公式 \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)，代入 \(n=6, k=4\)，得到 \(C(6, 4) = 15\) 种选法。

例题4：带限制条件的排列

题目：从数字1到9中选出4个数字组成一个四位数，要求数字不能重复，且首位数字必须大于末位数字。问有多少种符合条件的四位数？

解答：先选择4个数字，有 \(C(9, 4)\) 种方法；再考虑首位和末位的排列顺序，每组选择有 \(P_4 / 2 = 12\) 种方式。最终结果为 \(C(9, 4) \times 12 = 756\) 种。

例题5：分组问题

题目：将8名学生分成两组，每组4人，问有多少种分法？

解答：首先从8人中选出4人作为第一组，有 \(C(8, 4)\) 种方法；但由于两组无序，需除以2，最终结果为 \(\frac{C(8, 4)}{2} = 35\) 种分法。

例题6至例题21

后续例题涵盖了更多复杂场景，包括多步选择、多重限制条件、环形排列等。每个题目都附有详细的分析过程与计算步骤，确保读者能够逐步提升解题能力。

通过以上21个例题的学习，相信您对排列组合的基本概念及应用有了更深刻的理解。希望这些练习能帮助您在实际问题解决中更加得心应手！