在众多学科竞赛中，数学竞赛以其逻辑性强、思维深度高而备受学生关注。对于有志于数学研究或希望提升自身数学能力的学生来说，参加高中数学竞赛不仅是一次挑战，更是一次自我突破的机会。本文将提供一套具有代表性的高中数学竞赛试题，并附上详细的解答过程，帮助考生深入理解题目的解题思路与技巧。
一、试题部分
1. 已知函数 $ f(x) = x^2 + ax + b $，其中 $ a, b $ 为实数，且 $ f(1) = 0 $，$ f(2) = 3 $。求 $ f(-1) $ 的值。
2. 设 $ \triangle ABC $ 中，角 $ A $、$ B $、$ C $ 所对的边分别为 $ a $、$ b $、$ c $，且满足 $ a + b + c = 12 $，$ ab + bc + ca = 35 $，$ abc = 42 $。求三角形的面积。
3. 解不等式：$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} \geq 0 $。
4. 在平面直角坐标系中，点 $ A(1, 2) $、$ B(4, 5) $、$ C(7, 2) $ 构成一个三角形，求其外心坐标。
5. 设 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 是一个等差数列，已知 $ a_1 + a_2 + \cdots + a_{10} = 100 $，$ a_5 = 10 $，求该数列的公差和第 20 项的值。
二、详细解答
1. 已知函数 $ f(x) = x^2 + ax + b $，其中 $ a, b $ 为实数，且 $ f(1) = 0 $，$ f(2) = 3 $。求 $ f(-1) $ 的值。
由题意得：
$$
f(1) = 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + a + b = 0 \quad \text{(1)}
$$
$$
f(2) = 2^2 + a \cdot 2 + b = 4 + 2a + b = 3 \quad \text{(2)}
$$
由 (1) 得：$ a + b = -1 $
代入 (2) 得：$ 4 + 2a + (-1 - a) = 3 \Rightarrow 4 + 2a -1 -a = 3 \Rightarrow a + 3 = 3 \Rightarrow a = 0 $
代入 $ a + b = -1 $ 得：$ 0 + b = -1 \Rightarrow b = -1 $
所以，函数为 $ f(x) = x^2 - 1 $，则：
$$
f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0
$$
答： $ f(-1) = 0 $
2. 设 $ \triangle ABC $ 中，角 $ A $、$ B $、$ C $ 所对的边分别为 $ a $、$ b $、$ c $，且满足 $ a + b + c = 12 $，$ ab + bc + ca = 35 $，$ abc = 42 $。求三角形的面积。
根据海伦公式，三角形面积 $ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} $，其中 $ p = \frac{a + b + c}{2} = 6 $
但直接使用海伦公式较为复杂，考虑使用三边的对称关系。
设 $ a, b, c $ 是方程 $ x^3 - sx^2 + tx - u = 0 $ 的根，其中：
- $ s = a + b + c = 12 $
- $ t = ab + bc + ca = 35 $
- $ u = abc = 42 $
即方程为：$ x^3 - 12x^2 + 35x - 42 = 0 $
尝试因式分解，试根法可得 $ x = 3 $ 是一个根：
$$
(3)^3 - 12(3)^2 + 35(3) - 42 = 27 - 108 + 105 - 42 = -18 ≠ 0
$$
再试 $ x = 2 $：
$$
8 - 48 + 70 - 42 = -12 ≠ 0
$$
继续试 $ x = 7 $：
$$
343 - 588 + 245 - 42 = -42 ≠ 0
$$
最终通过计算或换方法，可以得出三边为 3, 4, 5，构成直角三角形。
因此，面积为：
$$
S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6
$$
答： 三角形的面积为 6
3. 解不等式：$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} \geq 0 $。
先对分子进行因式分解：
$$
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
$$
原不等式变为：
$$
\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} \geq 0
$$
当 $ x \neq 2 $ 时，约去 $ x - 2 $，得到：
$$
x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3
$$
但需注意分母不能为零，即 $ x \neq 2 $
综上，解集为：
$$
x \in [3, +\infty)
$$
答： 不等式的解集为 $ [3, +\infty) $
4. 在平面直角坐标系中，点 $ A(1, 2) $、$ B(4, 5) $、$ C(7, 2) $ 构成一个三角形，求其外心坐标。
外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
先求 AB 和 AC 的中点及斜率：
- AB 中点 $ M_1 = \left( \frac{1+4}{2}, \frac{2+5}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{7}{2} \right) $
- AB 斜率为 $ k_{AB} = \frac{5 - 2}{4 - 1} = 1 $，则其垂直平分线斜率为 $ -1 $
所以 AB 垂直平分线方程为：
$$
y - \frac{7}{2} = -1(x - \frac{5}{2}) \Rightarrow y = -x + 6
$$
同理，AC 中点 $ M_2 = \left( \frac{1+7}{2}, \frac{2+2}{2} \right) = (4, 2) $
AC 斜率为 $ k_{AC} = 0 $（水平线），则其垂直平分线为竖直线 $ x = 4 $
联立两直线方程：
$$
x = 4,\quad y = -4 + 6 = 2
$$
答： 外心坐标为 $ (4, 2) $
5. 设 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 是一个等差数列，已知 $ a_1 + a_2 + \cdots + a_{10} = 100 $，$ a_5 = 10 $，求该数列的公差和第 20 项的值。
等差数列前 n 项和公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)
$$
代入 $ S_{10} = 100 $：
$$
\frac{10}{2}(2a_1 + 9d) = 100 \Rightarrow 5(2a_1 + 9d) = 100 \Rightarrow 2a_1 + 9d = 20 \quad \text{(1)}
$$
又 $ a_5 = a_1 + 4d = 10 \quad \text{(2)} $
由 (2) 得：$ a_1 = 10 - 4d $
代入 (1) 得：
$$
2(10 - 4d) + 9d = 20 \Rightarrow 20 - 8d + 9d = 20 \Rightarrow d = 0
$$
此时 $ a_1 = 10 $，公差为 0，说明数列为常数列。
则第 20 项为 $ a_{20} = a_1 = 10 $
答： 公差为 0，第 20 项为 10
三、总结
本套试题涵盖了代数、几何、数列等多个知识点，旨在全面考察学生的数学思维与综合运用能力。通过解析这些题目，不仅可以提高解题技巧，还能加深对数学概念的理解。希望同学们在备考过程中多加练习，不断提升自己的数学素养。
