一、教学目标：
1. 知识目标：掌握高中数学奥赛中常见的数列与不等式问题的解题思路与方法，提升学生的逻辑思维能力和综合运用能力。
2. 能力目标：培养学生分析问题、归纳总结、灵活运用数学知识的能力，增强其解决复杂问题的信心。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养严谨的数学思维习惯和探索精神。
二、教学重点与难点：
- 重点：数列的通项公式求解、递推关系的应用、不等式的证明技巧。
- 难点：利用数学归纳法证明数列相关命题、构造性不等式的应用。
三、教学内容与过程设计：
1. 引入新课（5分钟）
通过一道典型的奥数题目引入课题，例如：
> 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = \frac{a_n + 2}{a_n + 1}$，试求其通项公式。
引导学生思考该数列的变化趋势，并尝试找出规律。通过此题引出本节课的重点——数列与不等式之间的联系。
2. 知识讲解（20分钟）
- 数列的基本概念回顾
包括等差数列、等比数列、递推数列等基本形式及其通项公式。
- 递推公式的应用
以题目为例，讲解如何从递推式出发，寻找通项公式的方法，如特征方程法、换元法等。
- 不等式的常见类型与证明方法
包括均值不等式、柯西不等式、排序不等式等，结合具体例子进行讲解。
3. 典型例题解析（25分钟）
例题1：
设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}$，证明：对于任意正整数 $n$，有 $a_n > \sqrt{2n - 1}$。
解析思路：
- 使用数学归纳法，先验证初始条件；
- 假设 $a_k > \sqrt{2k - 1}$，证明 $a_{k+1} > \sqrt{2(k+1) - 1}$；
- 利用不等式性质进行推导。
例题2：
已知正实数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 1$，求证：
$$
\frac{x}{1 - x} + \frac{y}{1 - y} + \frac{z}{1 - z} \geq \frac{3}{2}
$$
解析思路：
- 利用变量替换，令 $a = 1 - x$, $b = 1 - y$, $c = 1 - z$，则 $a + b + c = 2$；
- 转化为不等式形式，使用柯西不等式或均值不等式进行证明。
4. 学生练习（15分钟）
布置两道练习题，要求学生独立完成并尝试写出解题过程：
- 练习题1：已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 2$，$a_{n+1} = a_n^2 - 2$，求其通项表达式。
- 练习题2：已知正实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 3$，求证：
$$
\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}
$$
5. 小结与作业布置（5分钟）
- 总结本节课所学内容，强调数列与不等式在奥数中的重要性；
- 布置课后作业：完成练习题并整理典型例题的解题步骤；
- 鼓励学生课后多做类似题目，提升解题能力。
四、教学反思（教师自评）
本节课通过引入实际问题、讲解基础知识、分析典型例题、安排课堂练习等方式，帮助学生系统掌握数列与不等式的核心知识点。课堂互动良好，学生参与度较高，但在部分复杂题目的推导过程中仍需加强引导，避免学生因难度过大而失去信心。
五、板书设计
```
一、教学目标
二、重点与难点
三、教学内容
1. 数列通项公式
2. 不等式证明方法
四、例题解析
例题1：数列递推与不等式
例题2：均值不等式应用
五、练习题
六、小结与作业
```
备注：本教案为原创内容，结合了多种奥数题型与教学方法，旨在提高学生的数学思维能力与解题技巧，适合用于高中阶段的数学奥赛辅导课程。
