（注：本内容为原创整理，基于对相关课程知识点的理解和归纳，旨在帮助学习者更好地掌握复变函数与积分变换的核心概念与解题技巧。）

一、课程概述

《复变函数与积分变换》是西安交通大学理工科专业的一门重要基础课程，主要研究复数域上的函数理论及其在工程与物理中的应用。该课程不仅涉及复分析的基本内容，如解析函数、柯西积分公式、留数定理等，还涵盖了傅里叶变换、拉普拉斯变换等重要的积分变换方法。

本课程对于理解信号处理、电路分析、控制理论、电磁场与波等后续课程具有重要意义。

二、考试内容概要

根据2007年西安交通大学《复变函数与积分变换》试卷的结构，通常包括以下几个部分：

1. 基本概念题

包括复数的运算、复变函数的极限与连续性、解析函数的定义与判断等。

2. 计算题

涉及柯西积分公式的应用、留数的计算、积分路径的选择等。

3. 证明题

要求学生能够推导一些基本定理，如柯西定理、泰勒展开、洛朗展开等。

4. 应用题

通常结合实际问题，如利用拉普拉斯变换或傅里叶变换解决微分方程、信号分析等问题。

三、典型例题解析

例题1：

计算复积分

$$

\int_{C} \frac{e^z}{z^2 + 1} dz

$$

其中 $ C $ 是以原点为中心、半径为2的正向圆周。

解析：

首先，将分母因式分解：

$$

z^2 + 1 = (z - i)(z + i)

$$

因此，被积函数在 $ z = i $ 和 $ z = -i $ 处有奇点。由于 $ C $ 的半径为2，两个奇点均在内部。

使用留数定理：

$$

\int_{C} \frac{e^z}{z^2 + 1} dz = 2\pi i \left[ \text{Res}_{z=i} f(z) + \text{Res}_{z=-i} f(z) \right]

$$

分别计算两个极点的留数：

- 在 $ z = i $ 处，$ f(z) = \frac{e^z}{(z - i)(z + i)} $，所以：

$$

\text{Res}_{z=i} f(z) = \frac{e^i}{2i}

$$

- 在 $ z = -i $ 处：

$$

\text{Res}_{z=-i} f(z) = \frac{e^{-i}}{-2i}

$$

代入得：

$$

\int_{C} \frac{e^z}{z^2 + 1} dz = 2\pi i \left( \frac{e^i}{2i} + \frac{e^{-i}}{-2i} \right) = \pi (e^i - e^{-i}) = 2\pi i \sin(1)

$$

四、学习建议

1. 重视基础概念

复变函数中许多定理都依赖于严格的数学定义，如解析性、连续性、可导性等。

2. 加强计算训练

留数、积分路径选择、变换对的运用都需要大量练习才能熟练掌握。

3. 注重理论与应用结合

学会将复变函数知识应用于实际问题中，如信号处理、电路分析等。

五、总结

《复变函数与积分变换》是一门理论性强、应用广泛的课程。通过对2007年西安交通大学试卷的分析，可以看出其考察重点在于学生的数学素养与综合应用能力。希望本文能为正在备考或复习该课程的同学提供一定的参考与帮助。

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（完）