【平面直角坐标系中求面积（ppt课件）】一、教学目标
1. 理解平面直角坐标系的基本结构与点的表示方法。
2. 掌握在坐标系中计算图形面积的方法。
3. 能够灵活运用公式解决实际问题，提升空间想象能力和数学应用能力。
二、知识点回顾
1. 平面直角坐标系的构成
- 由两条互相垂直的数轴组成：横轴（x轴）和纵轴（y轴）。
- 原点为 (0, 0)，坐标平面上任意一点可以用有序实数对 (x, y) 表示。
2. 点的坐标表示
- 横坐标 x 表示水平方向的位置；
- 纵坐标 y 表示垂直方向的位置。
三、图形面积的计算方法
1. 矩形面积
- 若矩形的两个顶点分别为 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，且边分别与坐标轴平行，则面积为：
$$
S = |x_2 - x_1| \times |y_2 - y_1|
$$
2. 三角形面积
- 已知三个顶点坐标 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)、C(x₃, y₃)，可用以下公式计算面积：
$$
S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|
$$
- 或者使用向量法或行列式法进行计算。
3. 多边形面积（多边形闭合）
- 可以使用“鞋带公式”（Shoelace Formula）来计算任意多边形的面积。若多边形顶点按顺序为 (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ)，则面积为：
$$
S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|
$$
其中，(xₙ₊₁, yₙ₊₁) = (x₁, y₁)
四、实例分析
例题1：求三角形面积
已知三点 A(1, 2)、B(4, 5)、C(7, 2)，求该三角形的面积。
解法：
$$
S = \frac{1}{2} |1(5 - 2) + 4(2 - 2) + 7(2 - 5)| = \frac{1}{2} |3 + 0 - 21| = \frac{1}{2} \times 18 = 9
$$
答案：面积为 9 平方单位。
例题2：求四边形面积
已知四边形顶点依次为 A(0, 0)、B(3, 0)、C(4, 3)、D(1, 3)，求其面积。
解法：
使用鞋带公式：
$$
S = \frac{1}{2} |0×0 + 3×3 + 4×3 + 1×0 - (0×3 + 0×4 + 3×1 + 3×0)| \\
= \frac{1}{2} |0 + 9 + 12 + 0 - (0 + 0 + 3 + 0)| = \frac{1}{2} |21 - 3| = \frac{1}{2} × 18 = 9
$$
答案：面积为 9 平方单位。
五、拓展思考
- 在实际生活中，如何利用坐标系计算不规则图形的面积？
- 如何通过坐标变换简化图形面积的计算？
六、总结
- 平面直角坐标系是研究几何图形的重要工具；
- 面积计算可以通过多种公式实现，关键是掌握坐标点的正确应用；
- 实践中应结合图形特点选择最合适的计算方法。
七、课后练习
1. 已知三点 A(-2, 1)、B(3, 4)、C(1, -3)，求三角形面积。
2. 用鞋带公式计算一个五边形的面积，已知顶点为 (0, 0)、(2, 0)、(3, 2)、(1, 3)、(-1, 1)。
备注：本课件内容原创，适用于初中或高中数学教学，可用于PPT展示与课堂讲解。
