在“杏坛孔门讲数学竞赛QQ群”中，我们每天都会推出一道富有挑战性的数学题，旨在激发同学们的思维潜能，提升解题技巧，同时营造一个积极向上的学习氛围。今天，我们带来的是本期“每日一题”的精彩题目，欢迎各位同学踊跃思考、积极参与。
题目：
设 $ a, b, c $ 是正实数，且满足 $ a + b + c = 1 $，求表达式：
$$
\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b}
$$
的最小值。
思路分析：
这是一道典型的不等式问题，涉及对称性和变量替换。我们可以尝试使用一些常见的不等式技巧，如均值不等式、柯西不等式或对称性分析来解决。
首先观察到，由于 $ a + b + c = 1 $，所以每个分母都可以表示为 $ 1 - a $、$ 1 - b $、$ 1 - c $。于是原式可以改写为：
$$
\frac{a}{1 - a} + \frac{b}{1 - b} + \frac{c}{1 - c}
$$
接下来，考虑函数 $ f(x) = \frac{x}{1 - x} $ 在区间 $ (0, 1) $ 上的性质。该函数是凸函数，因此我们可以尝试使用Jensen 不等式。
根据 Jensen 不等式，对于凸函数 $ f $，有：
$$
f(a) + f(b) + f(c) \geq 3f\left(\frac{a + b + c}{3}\right)
$$
代入 $ a + b + c = 1 $，得：
$$
\frac{a}{1 - a} + \frac{b}{1 - b} + \frac{c}{1 - c} \geq 3 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{1/3}{2/3} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
$$
因此，原式的最小值为 $ \frac{3}{2} $，当且仅当 $ a = b = c = \frac{1}{3} $ 时取到等号。
结论：
在条件 $ a + b + c = 1 $ 下，表达式：
$$
\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b}
$$
的最小值为 $ \frac{3}{2} $。
拓展思考：
若将条件改为 $ a + b + c = k $（其中 $ k > 0 $），结果会如何变化？是否仍然可以用类似方法求解？
欢迎在“杏坛孔门讲数学竞赛QQ群”中继续讨论，分享你的思路与见解！
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