【等比数列前n项和公式PPT】等比数列前n项和公式
副探索数学中的几何规律
作者/班级：XXX中学 数学组
日期：2025年4月
二、目录页
1. 等比数列的定义
2. 等比数列的基本性质
3. 前n项和公式的推导过程
4. 公式应用实例
5. 课堂练习与解答
6. 总结与拓展
三、等比数列的定义
什么是等比数列？
等比数列是指从第二项起，每一项与它前一项的比都相等的数列。
即：
如果一个数列 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $ 满足
$$
\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = q \quad (q \neq 0)
$$
其中 $ q $ 称为公比，则该数列为等比数列。
示例：
数列 $ 2, 4, 8, 16, 32 $ 是一个等比数列，公比 $ q = 2 $
四、等比数列的基本性质
- 通项公式：
等比数列第 $ n $ 项可表示为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
- 公比的正负影响：
- 若 $ q > 1 $，数列递增；
- 若 $ 0 < q < 1 $，数列递减；
- 若 $ q < 0 $，数列呈交替变化。
五、等比数列前n项和公式推导
目标：求等比数列前 $ n $ 项的和 $ S_n $
设等比数列：
$$
S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1}
$$
方法一：错位相减法（经典推导）
1. 写出 $ S_n $：
$$
S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1}
$$
2. 两边同时乘以公比 $ q $：
$$
qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n
$$
3. 用原式减去新式：
$$
S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n
$$
4. 提取公共因子：
$$
S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n)
$$
5. 解得：
$$
S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \neq 1)
$$
当 $ q = 1 $ 时，所有项都等于 $ a_1 $，所以：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
六、公式应用实例
例题1：
已知等比数列首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ q = 2 $，求前5项和。
解：
$$
S_5 = \frac{3(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{3(1 - 32)}{-1} = \frac{3 \times (-31)}{-1} = 93
$$
答：前5项和为93。
七、课堂练习与解答
练习题1：
求等比数列 $ 5, 10, 20, 40, 80 $ 的前5项和。
解答：
$ a_1 = 5 $, $ q = 2 $, $ n = 5 $
$$
S_5 = \frac{5(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{5(1 - 32)}{-1} = \frac{5 \times (-31)}{-1} = 155
$$
练习题2：
若等比数列前3项和为 $ 14 $，公比为 $ 2 $，求首项。
解：
$$
S_3 = \frac{a_1(1 - 2^3)}{1 - 2} = \frac{a_1(1 - 8)}{-1} = \frac{-7a_1}{-1} = 7a_1 = 14 \Rightarrow a_1 = 2
$$
八、总结与拓展
本节知识点回顾：
- 等比数列的定义及通项公式
- 等比数列前n项和的推导过程
- 公式在实际问题中的应用
- 特殊情况（公比为1）的处理方式
拓展思考：
- 如果数列是无限等比数列，且 $ |q| < 1 $，那么它的和是多少？
- 如何利用等比数列求解复利计算问题？
九、结束页
感谢聆听！
如有疑问，请随时提问！
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